Număr denormalizat

Noțiunea de număr denormalizat este utilizată în reprezentarea numerelor în informatică prin metoda virgulă mobilă , așa cum este standardizat de standardul IEEE 754 . Este un mod de a reprezenta numere având o valoare foarte aproape de zero.

Condiții prealabile

Reprezentarea în virgulă mobilă pentru calculatoare se bazează pe două concepte: notația științifică și sistemul binar (sau baza 2).

Pentru a scrie numere în baza 10, putem folosi așa-numita notație „științifică” , care include două părți:

• un număr zecimal n , pozitiv sau negativ, a cărui valoare absolută este cuprinsă între 1 inclusiv și 10 exclus; 1 ≤ n <10;
• o putere întreagă de 10, a  ;

sub forma „  n × 10 a  ”. De exemplu :

• 1 în scrierea zecimală este scris „1 × 10 0  ”;
• -85 în scrierea zecimală se notează „-8,5 × 10 1  ”;
• 0,012 3 în scrierea zecimală este notat ca „1,23 × 10 −2  ”.

Termenul „  exponent  ” corespunde puterii 10, iar termenul mantissa corespunde părții zecimale. Astfel, în „1,23 × 10 −2  ”,

• mantisa (sau significand ) este „1,23“;
• exponentul este „-2”.

Sistemul binar , numit și „  baza 2”, este un mod de notare a numerelor care implică doar două cifre, 0 și 1. Este foarte potrivit pentru electronică, deoarece aceasta corespunde cu două stări foarte distincte: avem terminale aux ale unei componente a tensiunea V 0 sau o tensiune V 1 („curentul nu curge sau curentul trece”). Pentru a distinge această notație de notația zecimală, adăugăm aici un „b” la sfârșitul numărului. Iată câteva exemple de numere:

• 0b = 0
• 1b = 1;
• 10b = 2;
• 11b = 3;
• 0,1b = 0,5;
• 0,01b = 0,25;
• 0,11b = 0,75;
• ...

Un număr zecimal binar format din patru cifre n 1 n 0 , n -1 n -2 b corespunde numărului zecimal n 1 × 2 1 + n 0 × 2 0 + n -1 × 2 -1 + n -2 × 2 - 2 .

Astfel putem avea o notație științifică binară:

n 1 n 0 , n -1 n -2 b poate fi scris n 1 , n 0 n -1 n -2 b × 2 1 .

de exemplu

• 11b = 1,1b × 2 1
• 0,11b = 1,1b × 2 -1

În cazul notației științifice binare, numărul în virgulă mobilă trebuie să fie între 1b inclusiv și 10b exclus (adică 2 excluse), adică partea sa întreagă este în mod necesar 1b.

Reprezentarea unui număr normalizat

Conform standardului menționat, reprezentarea unui număr real poate fi împărțită în trei părți:

• semnul, +1 sau -1, ca un pic  ;
• exponentul shiftate, sub forma de e biți care reprezintă un număr întreg;
• mantisei , sub formă de m biți reprezentând un număr pozitiv strict mai mic de 1.

Valoarea numărului reprezentat este egală cu:

valoare = semn × (1 + mantisă ) × 2 ( exponent - offset)

Într-adevăr, în notația științifică pe bază binară, întreaga parte este neapărat 1, de aceea este inutil să folosiți un pic pentru a-l reprezenta, cineva este mulțumit să reprezinte partea fracționată.

Reprezentarea unui număr denormalizat

Se spune că un număr este denormalizat atunci când

• exponent = 0 și
• mantissa ≠ 0.

Dacă am urma aceeași reprezentare ca și pentru numerele cu exponent diferit de zero, am avea

valoare = semn × (1 + mantisă ) × 2 -shift

dar valoarea reținută este

valoare = semn × mantissa × 2 -shift + 1

adică pentru un exponent codat pe 8 biți (așa-numita reprezentare de precizie simplă), avem

valoare = semn × mantisă × 2 -126

și că pentru un exponent codat pe 11 biți (așa-numita reprezentare cu precizie dublă), avem

valoare = semn × mantisă × 2 -1022

Motivul acestei reprezentări

Cu numere denormalizate, abandonăm notația științifică. Dacă mantisa corespunde cu 0,1b („b” înseamnă că suntem în modul binar, în baza doi), atunci:

• cu reprezentarea normalizată, am avea
  valoare = 1,1b × 2 - shift  ;
• cu reprezentarea denormalizată, avem
  valoare = 0,1b × 2 - shift + 1 = 1b × 2 - shift

vedem astfel că cel mai mic număr reprezentabil într-un mod normalizat este 1.000 ... 00b × 2 - shift (deoarece o mantisă nulă și un exponent nul sunt utilizate pentru a reprezenta zero), în timp ce în reprezentarea denormalizată, este 0.000 ... 01b × 2 - compensat . Prin urmare, putem reprezenta numere mai mici. De asemenea, asigură continuitatea cu numerele normalizate, deoarece:

• cel mai mic număr normalizat este 1.000 ... 00b × 2 - shift + 1
• cel mai mare număr de zaruri normalizate este egal cu 0,111 ... 11b × 2 - shift + 1

sau un „salt” de 0,000 ... 01b × 2 - shift + 1

Prin urmare, avem, cu o precizie simplă:

Tip	Expozant	Mantissa	Valoare aproximativă	Abaterea / prev
Zero	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	0,0
Cel mai mic număr denormalizat	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0001	1,4 × 10 −45	1,4 × 10 −45
Următorul număr denormalizat	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0010	2,8 × 10 −45	1,4 × 10 −45
Următorul număr denormalizat	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0011	4,2 × 10 −45	1,4 × 10 −45
...	...	...	...	...
Cel mai mare număr denormalizat	0000 0000	111 1111 1111 1111 1111 1111	1.175 494 21 × 10 −38	1,4 × 10 −45
Cel mai mic număr normalizat	0000 0001	000 0000 0000 0000 0000 0000	1.175 494 35 × 10 −38	1,4 × 10 −45
Următorul număr standardizat	0000 0001	000 0000 0000 0000 0000 0001	1.175 494 49 × 10 −38	1,4 × 10 −45

Vezi și tu

linkuri externe

• „  IEEE 754: codarea în memorie a unui număr în virgulă mobilă  ” , pe OpenClassRooms