Inegalitatea Kolmogorov
Inegalitatea Kolmogorov , din cauza Andrei Kolmogorov , este un pas esențial în lucrarea sa Dovada legii puternice de un număr mare , una dintre principalele teoreme ale teoriei probabilității . Aceasta este etapa în care folosește ipoteza independenței (și, fără a spune acest lucru, noțiunea de perioade de inactivitate ).
State
Inegalitatea Kolmogorov. - Asta este de a spune o serie de independente și centrat var . Să pozăm
(Danu)nu≥1{\ displaystyle \ textstyle \ left (Y_ {n} \ right) _ {n \ geq 1}}
Wnu=Da1+Da2+⋯+Danu.{\ displaystyle W_ {n} = Y_ {1} + Y_ {2} + \ cdots + Y_ {n}.}
Deci, pentru orice ,
X>0{\ displaystyle \ textstyle x> 0}
P(cina{|Wnu||nu≥1}>X)≤∑nu≥1Var(Danu)X2.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ right \}> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right)} {x ^ {2}}}.}
Note:
P(|Wnu|>X)≤∑nu≥1Var(Danu)X2{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | W_ {n} \ right |> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ dreapta)} {x ^ {2}}}}
este o consecință imediată
a inegalității Bienayme-Chebyshev . Prezența sup face inegalitatea mult mai precisă și, prin urmare, mai dificil de demonstrat.
Demonstrație
Dacă se verifică inegalitatea. În cele ce urmează, presupunem că
∑nu≥1Var(Danu)=+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) = + \ infty}
∑nu≥1Var(Danu)<+∞.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) <+ \ infty.}
Noi pozăm
σ={+∞ dacă {k≥1 | |Wk|>X}=∅,inf{k≥1 | |Wk|>X} dacă nu.{\ displaystyle \ sigma = \ left \ {{{\ begin {array} {lll} + \ infty & \ \ & {\ text {si}} \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ { k} \ right |> x \ right \} = \ emptyset, \\ && \\\ inf \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} & \ \ & {\ text {altfel.}} \ end {array}} \ right.}
Observăm atunci că, pentru ,
k≤nu{\ displaystyle \ textstyle k \ leq n}
Wk1σ=k ⊥ Wnu-Wk.{\ displaystyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}.}
Într-adevăr , în timp ce
Wnu-Wk=Dak+1+Dak+2+⋯+Danu{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k} = Y_ {k + 1} + Y_ {k + 2} + \ dots + Y_ {n}}
{σ=k}={|W1|≤X,|W2|≤X,...,|Wk-1|≤X și |Wk|>X}={|Da1|≤X, |Da1+Da2|≤X, ..., |Da1+⋯+Dak-1|≤X și |Da1+⋯+Dak|>X}.{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ {\ sigma = k \ right \} & = \ left \ {\ left | W_ {1} \ right | \ leq x, \ left | W_ {2} \ right | \ leq x, \ dots, \ left | W_ {k-1} \ right | \ leq x {\ text {et}} \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} \\ & = \ left \ {\ left | Y_ {1} \ right | \ leq x, \ \ left | Y_ {1} + Y_ {2} \ right | \ leq x, \ \ dots, \ \ left | Y_ {1} + \ dots + Y_ {k-1} \ right | \ leq x {\ text {et}} \ left | Y_ {1} + \ dots + Y_ {k} \ right |> x \ right \}. \ end {aliniat}}}
Astfel pentru oricare doi borelieni și , cele două evenimente
LA{\ displaystyle \ textstyle A}B{\ displaystyle \ textstyle B}
{Wk1σ=k∈LA} și {Wnu-Wk∈B}{\ displaystyle \ left \ {W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ in A \ right \} {\ text {et}} \ left \ {W_ {n} -W_ {k} \ in B \ dreapta \}}
aparțin triburilor și , respectiv. Prin urmare, ele sunt independente în virtutea lemei de grupare , ceea ce implică bine . Avem
σ(Da1,Da2,...,Dak){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ left (Y_ {1}, Y_ {2}, \ dots, Y_ {k} \ right)}σ(Dak+1,Dak+2,...,Danu){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ left (Y_ {k + 1}, Y_ {k + 2}, \ dots, Y_ {n} \ right)} Wk1σ=k ⊥ Wnu-Wk{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}
∑k=1nuVar(Dak)=Var(Wnu) = E[Wnu2]≥E[Wnu21σ<+∞]=∑k≥1 E[Wnu2 1σ=k]≥∑k=1nu E[Wnu21σ=k]=∑k=1nu E[(Wnu-Wk+Wk)21σ=k]≥∑k=1nu E[Wk21σ=k]+2E[Wnu-Wk]E[Wk1σ=k]=∑k=1nu E[Wk21σ=k]≥∑k=1nu E[X21σ=k]=X2P(σ≤nu),{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & = {\ text {Var}} \ left (W_ {n} \ right) \ = \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} \ right] \\ & \ geq \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ { 2} 1 _ {\ sigma <+ \ infty} \ right] \\ & = \ sum _ {k \ geq 1} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} \ 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ dreapta] \ \ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [\ left (W_ {n} -W_ {k} + W_ {k} \ right) ^ {2 } 1_ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] +2 \ mathbb {E} \ left [W_ {n} -W_ {k} \ right] \ mathbb {E} \ left [W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ right ] \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [x ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & = x ^ {2} \ mathbb {P } \ left (\ sigma \ leq n \ right), \ end {align}}}
unde a treia inegalitate se obține prin extinderea pătratului în doi termeni pătrati (dintre care unul este șters pentru a reduce expresia anterioară) și un produs dublu (din două variabile independente, în virtutea lui ). Următoarea egalitate este aceea centrată (ca o sumă de rv centrată), iar ultima inegalitate rezultă din definiția timpului de oprire : prin definiție, la timp , avem
. Tindând spre infinit obținem
Wk1σ=k ⊥ Wnu-Wk{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}Wnu-Wk{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k}} σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}Wσ>X{\ displaystyle \ textstyle W _ {\ sigma}> x}nu{\ displaystyle \ textstyle n}
∑k≥1Var(Dak)≥X2 P(σ<+∞),=X2 P({k≥1 | |Wk|>X}≠∅),=X2 P(cina{|Wnu||nu≥1}>X),{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k \ geq 1} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & \ geq x ^ {2} \ \ mathbb {P } \ left (\ sigma <+ \ infty \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} \ neq \ emptyset \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ right \}> x \ right), \ end {align}}}
CQFD
Note
-
Se poate găsi declarația, demonstrația și contextul 248 al cărții P. Billingley, probabilităților și măsură , Wiley, 1 st ediția 1979.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">