Stivuire compactă

Stiva compact este modul de aranjare sfere în spațiu pentru a avea cea mai mare densitate de sfere, fără ca acestea să se suprapună.

Aceasta este o problemă pe care ne întrebăm în general în geometria euclidiană în spațiul tridimensional, dar o putem generaliza și la planul euclidian („sferele” fiind atunci cercuri ), într-un spațiu euclidian cu n dimensiuni ( n > 3 ) , cu hipersfere , sau într -un spațiu neeuclidian .

Dispunerea compactă a cercurilor într-un plan

Pe un plan, maximum șase cercuri de rază $r pot fi plasate în$ jurul unui cerc cu aceeași rază. Centrele a trei cercuri în contact definesc un triunghi echilateral , deoarece acestea sunt la $2 r$ unele de altele. Fiecare unghi fiind egal cu 60 ° ( $π / 3$ ), putem pune astfel 6 triunghiuri cu un vârf în comun pentru a forma un hexagon regulat.

Putem vedea cu ușurință că este cea mai compactă organizație prin stocarea bilelor de același volum într-o incintă de dimensiuni adecvate.

Densitatea suprafeței acestui aranjament este:

{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ simeq 0 {,} 9069.}

Demonstrație

Luați în considerare patru cercuri în contact două câte două. Centrele acestor cercuri formează un romb cu latura $2 r$ . Este astfel posibil să tăiați planul într-o teselare de diamante care definește o rețea.

Fiecare romb cuprinde două porțiuni ale unui disc unghiular la centrul $2π / 3$ și două porțiuni ale unui disc unghiular la centrul $π / 3$ . Suma acestor patru unghiuri la centru este astfel egală cu $2π$ , deci suma ariilor celor patru porțiuni de disc este egală cu aria unui disc complet, adică $π r 2$ .

Rombul în sine are pentru zonă . Prin urmare, discurile ocupă o proporție de suprafață egală cu . ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}} \ r ^ {2}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {\ pi \ r ^ {2}} {2 {\ sqrt {3}} \ r ^ {2}}}}$

Joseph-Louis Lagrange a demonstrat în 1773 că niciun aranjament regulat nu este mai dens. Nu este cazul atunci când cercurile nu au aceeași dimensiune (vezi aranjamentul feliilor de citrice).

Stivă compactă de sfere

Luați în considerare trei sfere de același diametru în contact pe un plan (planul A). Putem așeza o a patra sferă, întotdeauna de același diametru, așezată pe golul dintre primele trei, centrele sferelor formând un tetraedru regulat.

Poziționând astfel sferele în golurile planului compact A, obținem un al doilea plan compact (planul B). Când adăugăm un al treilea plan, putem pune sferele fie în corespondență cu cele din primul plan (planul A), fie într-o a treia posibilitate de plasare definind un nou plan compact (planul C). Și așa mai departe: suprapunere (regulată sau nu) a planurilor A, B sau C (două litere consecutive trebuie să fie întotdeauna diferite).

În 1611, Johannes Kepler presupune că acesta este cel mai compact aranjament spațial. În 1831, Carl Friedrich Gauss demonstrează conjectura lui Kepler cu condiția ca aranjamentul să fie regulat (într-o rețea). Cazul general este demonstrat de Thomas Hales în 1998 (urmat de patru ani de verificări de către matematicieni) și dovedit formal în 2014, încă de Thomas Hales.

Există astfel trei tipuri de planuri compacte A, B și C care, prin combinare, pot genera un număr infinit de tipuri de stivuiri compacte, care constituie un exemplu de polipism :

ABAB ... așa-numita stivă „compactă hexagonală”;
ABCABC ... așa-numita stivă „cubică compactă” sau „cubică centrată pe față”, numită după rețeaua Bravais care îi corespunde;
ABACABAC ... așa-numita stivuire „dublă hexagonală”;
ABCBABCB ...;
...

Indiferent de aranjament, fiecare sferă este înconjurată de alte 12 sfere și densitatea volumului este în toate cazurile:

{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ simeq 0 {,} 740 \, 48.}

Demonstrație - Calculul poate fi realizat într-un mod simplu pe un stivuire cubică centrată pe față și pe un stivuire hexagonală compactă (a se vedea linkul extern pentru calcularea compactității). Pentru celelalte stive compacte, este suficient să tăiați structura în grupuri de trei planuri pentru a ajunge într-unul dintre cazurile menționate anterior.

Dimensiuni mai mari

În spațiile euclidiene cu dimensiuni mai mari de 3, problema stivuirii compacte se generalizează la hipersfere . Densitățile celor mai compacte aranjamente regulate sunt cunoscute până la dimensiunea 8 și pentru dimensiunea 24 (a se vedea articolul „ Constanta pustnic ”).

În 2016, Maryna Viazovska a anunțat că rețeaua E 8 (în) oferă stiva optimă (nu neapărat regulată) în mărimea 8 și, la scurt timp, în colaborare cu alți matematicieni, a produs dovezi similare care arată că rețeaua de Leech este optimă pentru dimensiunea 24.

Asimptotic, densitatea celui mai compact aranjament (regulat sau nu) scade exponențial în funcție de dimensiunea n . Nu există niciun motiv să credem că cele mai dense aranjamente sunt în general regulate. Cu toate acestea, cele mai cunoscute îndrumări despre acestea sunt aceleași în ambele cazuri: $d_ {n}$ $d_ {n}$

{\ displaystyle 2 ^ {- no (n)} \ leq d_ {n} \ leq 2 ^ {- 0 {,} 5990n + o (n)}.}

Aplicare în cristalografie

În cristalografie , atomii sau ionii se pot organiza în straturi compacte. Acesta este în special cazul structurilor metalice, cristalele fiind formate dintr-un singur tip de particule. Dacă sunt modelate de sfere, stiva este compactă atunci când sferele sunt în contact.

Cele două tipuri principale de stivă compactă sunt:

hc compact hexagonal (sau hcp pentru Hexagonal strâns ): straturile de atomi stivuite în ordinea ABAB , poliedrul de coordonare al atomilor este un anticuboctaedru ;
cfc cubic centrat pe față (sau ccp pentru cubic strâns ): straturile de atomi stivuite în ordinea ABC , poliedrul de coordonare al atomilor este un cuboctaedru .

Exemple:

cfc: austenită , aluminiu .

Densitatea volumului se numește compactitate . Rata de umplere este de aproximativ 74 % (26% vid).

Structură vs. reţea

În structura cubică compactă, atomii sunt localizați în corespondența nodurilor rețelei cubice centrate pe față și din acest motiv structura cubică compactă este deseori numită și o structură cubică centrată pe față.

Pe de altă parte, în structura compactă hexagonală atomii nu se află pe nodurile rețelei, ci în poziția ⅓, ⅔, ¼ și ⅔, ⅓, ¾, care sunt echivalente în grupul spațial ( P 6 3 / mmc , n ° 194). Rețeaua de structura hexagonala compactă este o rețea hexagonală primitiv.

Referințe

Conway și Sloane 1999 , cap. 1, p. 8.
(în) Frank Morgan, „ Sphere Packing in size 8 ” , pe The Huffington Post ,21 martie 2016(accesat la 10 aprilie 2016 )
(de) Andreas Loos, " Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen " , Die Zeit ,21 martie 2016( ISSN 0044-2070 , citit online , accesat la 10 aprilie 2016 )
(en-SUA) Lisa Grossman , „ Noua dovadă matematică arată cum să stivuim portocale în 24 de dimensiuni ” , pe New Scientist ,28 martie 2016(accesat la 10 aprilie 2016 )
(în) Erica Klarreich , " Sphere Packing Solved in Higher Dimensions " , Revista Quanta ,30 martie 2016( citiți online , consultat la 23 martie 2021 )
Conway și Sloane 1999 , cap. 1, p. 20.

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) John Horton Conway și Neil Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer ,1999, 3 e ed. ( 1 st ed. 1993) ( linia citit )
( fr ) Thomas Hales, „ O dovadă a conjecturii Kepler ” , Ann. de matematică. , vol. 162,2005, p. 1065-1185 ( citește online )
Joseph Oesterlé , „ Stivuirea sferelor ”, Seminar Bourbaki , vol. 32, n o 727, 1989-1990 ( citiți online )
Joseph Oesterlé, „ Densitatea maximă a sferelor stivuite în dimensiunea 3 ”, Bourbaki Seminar , vol. 41, n o 863, 1998-1999 ( citiți online )

Articole similare

linkuri externe

Calculul compactității
Souhir Boujday, „ Compact stacking ” , pe UPMC
( fr ) Herminio López Arroyo, „ Hai să dăm niște bile ” , pe Matifutbol - Exemplu concret de stivuire compactă.