Generator infinitesimal

Un generator infinitesimal este un instrument de calcul stocastic , utilizat în special pentru procesele Markov în timp continuu .

În lanțuri Markov în timp continuu

• Să fie procesul stocastic în stare continuă, în timp discret. {X(t),t≥0}{\ displaystyle \ {X (t), t \ geq 0 \}}
  • Fie variabila aleatorie care desemnează timpul pe care procesul îl petrece în stare înainte de a merge într-o altă stare. Lanțurile Markov în timp continuu sunt procese stochastice care trebuie (printre altele) să verifice proprietatea non-îmbătrânirii: ceea ce înseamnă că timpul rămas de petrecut într-o stare nu depinde de timpul deja petrecut în acea stare. Din această proprietate putem deduce că într-un lanț Markov în timp continuu, variabilele aleatorii urmează legi exponențiale (deoarece acestea sunt singurele legi ale probabilităților continue care verifică proprietatea non-îmbătrânirii).τeu{\ displaystyle \ tau _ {i}}eu{\ displaystyle i}
    P[τeu>s+t|τeu>t]=P[τeu>s],{\ displaystyle P [\ tau _ {i}> s + t | \ tau _ {i}> t] = P [\ tau _ {i}> s],}
    
    τeu{\ displaystyle \ tau _ {i}}
  • Vom observa probabilitatea ca, pornind de la stare la un moment , să fim în momentul respectiv . Adică:peuj(t){\ displaystyle p_ {ij} (t)}eu{\ displaystyle i}s{\ displaystyle s}j{\ displaystyle j}t+s{\ displaystyle t + s}

peuj(t)=P[X(t+s)=j|X(s)=eu]=P[X(t)=j|X(0)=eu].{\ displaystyle p_ {ij} (t) = P [X (t + s) = j | X (s) = i] = P [X (t) = j | X (0) = i].} Funcțiile sunt numite „funcții de tranziție în lanț” și au proprietatea:peuj(t){\ displaystyle p_ {ij} (t)} Pentru toți i , (adică trebuie să fim neapărat într-una din stările la momentul t.)∑j=0∞peuj(t)=1{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} p_ {ij} (t) = 1} Mai mult, aceste funcții verifică ecuațiile continue Chapman-Kolmogorov .

Note și referințe

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">