Funcție cu valoare vectorială

Funcția vectorială

În matematică , o funcție cu valori vectoriale sau funcție vectorială este o funcție al cărei spațiu de sosire este un set de vectori , setul său de definiție fiind posibil un set de scalari sau vectori.

Un exemplu: curbe parametrizate

Un exemplu clasic de funcții vectoriale este cel al curbelor parametrizate , adică funcțiile unei variabile reale (reprezentând de exemplu timpul în aplicații în mecanica punctelor ) cu valori într-un spațiu euclidian , de exemplu planul obișnuit (se vorbește atunci de curbe plane ) sau spațiul obișnuit (se vorbește atunci de curbe din stânga ). $t$

Dacă , în ceea ce privește coordonatele carteziene $($ $e$ $1$ $, ...,$ $e$ $n$ $)$ , o curbă parametrizată poate fi scrisă ca ${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ { nu}}

unde sunt funcțiile de coordonate. ${\ displaystyle f_ {j} \ colon I \ to \ mathbb {R}}$

De exemplu, în spațiul cartezian , notând $i$ $= (1,0,0)$ , $j$ $= (0,1,0)$ și $k$ $= (0,0,1)$ vectorii unitari obișnuiți, o curbă parametrizată s 'scrisă în forma ${\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \, \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \, \ mathbf {i} + g (t) \, \ mathbf {j} + h (t) \, \ mathbf {k}}

unde sunt funcțiile de coordonate. ${\ displaystyle f, g, h \, \ colon I \ to \ mathbb {R}}$

Definiție

O funcție cu valoare vectorială este o funcție a oricărei mulțimi $X$ din spațiul vectorial $E$ peste un câmp $K$ (comutativ).

Unele cazuri frecvente sunt:

$X$ este un subset de (de exemplu un interval de ) și . Acest cadru acoperă inclusiv calcul în dimensiunea finită (inclusiv curbe parametrice descrise mai sus) și un număr mare de instrumente fizice, cum ar fi cele utilizate la punctul mecanic in mecanica fluidelor , în termodinamică , etc. $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$ $K = {\ mathbb R}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$
$X$ este un spațiu de probabilitate , și . Funcțiile vectoriale de la $X$ la $E$ care sunt măsurabile se numesc vectori aleatori , generalizând noțiunea de variabilă aleatorie . $K = {\ mathbb R}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$

Funcțiile unei variabile reale cu valori vectoriale

Luați în considerare în această secțiune o funcție vectorială $f$ a unui interval cu valori în . Observăm funcțiile de coordonate asociate: ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ colon I \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ mathbf {f} (t) = (f_ {1} (t), \ ldots, f_ {n} (t)) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1 } + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}}

pentru toate $t \in I$ unde $e j$ sunt vectorii bazei canonice a . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Putem deduce proprietățile lui $f$ din cele ale lui $f j$ și invers. De exemplu :

$f ( t )$ tinde spre un vector $a = ( a 1 , ..., a n )$ când $t$ tinde spre $t 0$ (posibil $t 0 = \pm \infty$ ) dacă și numai dacă fiecare $f j ( t )$ tinde spre $a j$ când $t$ tinde spre $t 0$ ;
$f$ este continuu peste $I$ dacă și numai dacă fiecare $f j$ este continuu ;
$f$ este diferențiat față de $I$ dacă și numai dacă fiecare $f j$ este.

Dacă $f$ este diferențiat pe $I$ , derivatul său corespunde componentei derivate cu componente:

{\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {\ prime} (t) = (f_ {1} ^ {\ prime} (t), \ ldots, f_ {n} ^ {\ prime} (t)) = f_ { 1} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}.}

Geometric, $f '( t )$ reprezintă (atunci când nu este zero) vectorul tangent la curba reprezentativă pentru $f$ în punctul $f ( t )$ .

Putem deduce o serie de formule utile în analiza vectorială . De exemplu, dacă sunt două funcții vectoriale diferențiate, atunci: ${\ displaystyle \ mathbf {f}, \ mathbf {g} \, \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

Produsul scalar canonic este diferențiat și avem ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \, \ colon I \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {g}}

În cazul $n = 3$ , produsul încrucișat este diferențiat și avem ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \, \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ wedge \ mathbf {g}}

Articole similare