Coordonatele Grassmann
De coordonate Grassmannian sunt o generalizare a Plückeriennes coordonate care fac posibilă parameterize subspațiile dimensiuni ale spațiului vectorial de un element al spațiului proiectiv al spațiului vectorial al produselor externe ale vectorului familiilor de .
k{\ displaystyle k}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}k{\ displaystyle k}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Plückerien încorporare
Incorporarea plückerien este o încastrare naturală a soiului Grassmannian în spațiul proiectiv :
G(k,nu){\ displaystyle G (k, n)} P(Λk(Rnu)){\ displaystyle P (\ Lambda ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}))}
ψ:G (k, n)→P(⋀k(Rnu)).{\ displaystyle \ psi: {\ mbox {G (k, n)}} \ rightarrow \ mathbf {P} (\ bigwedge ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n})).}
Această încorporare este definită după cum urmează. Dacă este un sub-spațiu de dimensiune a , mai întâi definim o bază de , atunci formăm
produsul extern Acest produs extern depinde de bază, dar din moment ce două familii de vectori generează același subspatiu vectorial dacă și numai dacă produsele lor exterioare sunt colinenare, un pasaj către coeficientul făcut dintr- o încorporare a în spațiul proiectiv al spațiului produselor exterioare (de dimensiune ).
W{\ displaystyle W}k{\ displaystyle k}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}(e1,...,ek){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {k})}W{\ displaystyle W} ϕ(W)=e1∧⋯∧ek.{\ displaystyle \ phi (W) = e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {k}.}k{\ displaystyle k}ψ{\ displaystyle \ psi}G(k,nu){\ displaystyle G (k, n)}VSnuk-1,{\ displaystyle C_ {n} ^ {k} -1,}
Această încorporare este injectivă în mod natural, deoarece, subspai dimensional, obținem vectori satisfăcători . Când găsim coordonatele Plückeriennes .
W{\ displaystyle W}k{\ displaystyle k}w{\ displaystyle w}w∧ϕ(W) =0{\ displaystyle w \ wedge \ phi (W) \ = 0}k=2,nu=4{\ displaystyle k = 2, n = 4}
Pe de altă parte, imaginile Grassmanniene satisfac o relație polinomială pătratică destul de simplă, numită relația Plücker; astfel încât Grassmannianul este realizat în acest fel ca o sub-varietate de . Relațiile Plücker se obțin prin prelevarea a două -dimensionale vectoriale subspații W și V ale prevăzute respectiv cu bazele și . Apoi, în sistemul de coordonate omogen al , avem pentru toate :
P(∧k(Rnu)){\ displaystyle \ mathbf {P} (\ wedge ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}))}k{\ displaystyle k}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}(w1,⋯,wk){\ displaystyle (w_ {1}, \ cdots, w_ {k})}(v1,⋯,vk){\ displaystyle (v_ {1}, \ cdots, v_ {k})}P(∧k(Rnu)){\ displaystyle \ mathbf {P} (\ wedge ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}))}r∈{1,⋯,k}{\ displaystyle r \ in \ {1, \ cdots, k \}}
ψ(W)⋀ψ(V)-∑eu1<⋯<eur(v1∧⋯∧veu1-1∧w1∧veu1+1∧⋯∧veur-1∧wr∧veur+1∧⋯∧vk)⋅(veu1∧⋯∧veur∧wr+1⋯∧wk)=0.{\ displaystyle \ psi (W) \ bigwedge \ psi (V) - \ sum _ {i_ {1} <\ cdots <i_ {r}} (v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {i_ {1} -1} \ wedge w_ {1} \ wedge v_ {i_ {1} +1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {i_ {r} -1} \ wedge w_ {r} \ wedge v_ {i_ {r} + 1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {k}) \ cdot (v_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {i_ {r}} \ wedge w_ {r + 1} \ cdots \ wedge w_ { k}) = 0.}
În cazul dimensiunii și coordonatelor lui Plücker ( ), obținem o singură ecuație, care este scrisă:
nu=4{\ displaystyle n = 4}k=2{\ displaystyle k = 2}
X01X23-X02X13+X12X03=0.{\ displaystyle X_ {01} X_ {23} -X_ {02} X_ {13} + X_ {12} X_ {03} = 0.}
Bibliografie
- Plăci de Jussieur despre plonjarea lui Plucker: aici sau acolo
Legături interne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">