Conjectura lui Euler
Conjectura Euler este o conjectură matematică de teoria numerelor , a infirmat, dar care a fost propusă inițial de elvețian matematician Leonhard Euler în 1772, care are următorul conținut :
Pentru
întreg n strict mai mare de 2, suma n - 1 puteri n - lea nu este o putere n - lea.
Cu alte cuvinte și mai formal:
∀nu>2,∀(la1,...,lanu-1,b)∈(NU∗)nu,∑k=1nu-1laknu≠bnu.{\ displaystyle \ forall n> 2, \ forall (a_ {1}, \ dots, a_ {n-1}, b) \ in (\ mathbb {N} ^ {*}) ^ {n}, \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} {a_ {k}} ^ {n} \ neq b ^ {n}.}
Euler a perceput această afirmație ca o generalizare a conjecturii lui Fermat , că pentru orice număr întreg n mai mare decât 2, suma a două puteri n -th nu este o putere n th. Cele două afirmații coincid pentru n = 3. Euler a adăugat că „exact așa cum nu există cuburi a căror sumă sau diferență este un cub, este sigur că este imposibil să se găsească trei puteri a patra a căror sumă este a patra putere, dar cel puțin patru sunt necesare a patra putere pentru ca suma să fie a patra putere, deși nimeni nu a reușit până acum să producă aceste patru puteri. În același mod, s-ar părea imposibil să găsim patru puteri a cincea a căror sumă este a cincea putere și același lucru pentru puterile superioare. "
Conjectura lui Euler a fost răsturnată de LJ Lander și TR Parkin în 1966 datorită următorului contraexemplu:
275+845+1105+1335=1445.{\ displaystyle 27 ^ {5} + 84 ^ {5} + 110 ^ {5} + 133 ^ {5} = 144 ^ {5}.}În 1988 , Noam Elkies a găsit chiar o metodă pentru a construi contraexemple când n = 4. Cel mai simplu contraexemplu al său a fost următorul:
26824404+153656394+187967604=206156734{\ displaystyle 2682440 ^ {4} + 15365639 ^ {4} + 18796760 ^ {4} = 20615673 ^ {4}}.
Ulterior, Roger Frye a găsit cel mai mic contraexemplu posibil pentru n = 4 folosind, cu un computer , tehnici sugerate de Elkies:
958004+2175194+4145604=4224814{\ displaystyle 95800 ^ {4} + 217519 ^ {4} + 414560 ^ {4} = 422481 ^ {4}}.
Nu se cunoaște în prezent niciun contraexemplu pentru n > 5.
Conjectura vecinilor
În 1967, Lander, Parkin și Selfridge au conjecturat că dacă u , v ≥ 1 și n > u + v , nu există numere întregi strict pozitive a i ≠ b j astfel încât
∑eu=1tulaeunu=∑j=1vbjnu.{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {u} a_ {i} ^ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {v} b_ {j} ^ {n}.}
Acest lucru ar implica în special că
∀nu≥4,∀tu∈{2,...,nu-2},∀(la1,...,latu,b)∈(NU∗)tu+1,∑k=1tulaknu≠bnu.{\ displaystyle \ forall n \ geq 4, \ forall u \ in \ {2, \ ldots, n-2 \}, \ forall (a_ {1}, \ dots, a_ {u}, b) \ in (\ mathbb {N} ^ {*}) ^ {u + 1}, \ sum _ {k = 1} ^ {u} {a_ {k}} ^ {n} \ neq b ^ {n}.}
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Euler’s sum of powers conjecture ” (a se vedea lista autorilor ) .
-
(en) Leonard Eugene Dickson , Istoria teoriei numerelor (en) [ detaliile edițiilor ], zbor. 2, p. 648 , citând E716 (1778). Dickson menționează, de asemenea (nota 165) E428 (1772) și (nota 167) E776 (1780)
-
Cf. (ro) EulerNet: Calcularea sumelor egale minime de puteri asemănătoare și linkul său către o pagină detaliată.
-
(în) LJ Lander și TR Parkin , " Contraexemplul conjecturii lui Euler sunt sume de puteri similare " , Bull. Amar. Matematica. Soc. , vol. 72,1966, p. 1079 ( citește online )
-
(ro) Noam Elkies , „ este A 4 + B 4 + C 4 = D 4 ” , Math. Comp. , vol. 51, nr . 184,1988, p. 825-835 ( DOI 10.2307 / 2008781 )
-
(ro) LJ Lander , TR Parkin și JL Selfridge , " O anchetă a sumelor egale de puteri similare " , Math. Comp. , vol. 21,1967, p. 446-459 ( citește online )
Vezi și tu
Articole similare
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">