Coercitivitatea
În matematică și mai ales în analiză , se spune că o funcție reală este coercitivă dacă „tinde spre infinit până la infinit”, posibil într-o parte specificată a setului de pornire. O definiție analogă este utilizată pentru formele biliniare. În analiza funcțională , coercitivitatea este definită și pentru operatorii unui spațiu Hilbert în sine și mai general pentru operatorii unui spațiu Banach în dualitatea sa topologică .
Definiție
O funcție definită pe un spațiu normalizat cu valori în se spune că este coercitivă pe o parte nelimitată a lui si
f{\ displaystyle f}
X{\ displaystyle X}
R¯: =R∪{-∞,+∞}{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}
P{\ displaystyle P}
X{\ displaystyle X}
lim‖X‖→+∞X∈Pf(X)=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ to + \ infty \ atop x \ in P} f (x) = + \ infty}
sau mai exact
∀ν∈R,∃ρ⩾0:(X∈X și ‖X‖⩾ρ)⟹f(X)⩾ν.{\ displaystyle \ forall \, \ nu \ in \ mathbb {R}, \ quad \ exists \, \ rho \ geqslant 0: \ quad (x \ in X ~ {\ mbox {and}} ~ \ | x \ | \ geqslant \ rho) \ quad \ Longrightarrow \ quad f (x) \ geqslant \ nu.}
Acest lucru echivalează cu a spune că intersecțiile de seturi de subnivel funcție sunt delimitate:
P{\ displaystyle P}
∀ν∈R,{X∈P:f(X)⩽ν} este mărginit.{\ displaystyle \ forall \, \ nu \ in \ mathbb {R}, \ qquad \ {x \ in P: f (x) \ leqslant \ nu \} ~ {\ mbox {este delimitat.}}}
Dacă piesa nu este specificată , se presupune că .
P{\ displaystyle P}P=X{\ displaystyle P = X}
De asemenea, putem extinde definiția la un spațiu metric , înlocuind cu unde este fixat .
‖X‖→+∞X∈P{\ displaystyle {\ | x \ | \ to + \ infty} \ atop x \ în P}
d(X,la)→+∞X∈P{\ displaystyle {d (x, a) \ to + \ infty} \ atop x \ în P}
la{\ displaystyle a}
P{\ displaystyle P}
Cazul unei forme biliniare
Definiție
Mai precis, o formă biliniară se spune că este coercitivă dacă satisface:
la:X×X→R{\ displaystyle a: X \ times X \ to \ mathbb {R}}
∃α>0,∀X∈X:la(X,X)⩾α‖X‖2.{\ displaystyle \ există \, \ alpha> 0, \ quad \ forall \, x \ în X: \ qquad a (x, x) \ geqslant \ alpha \ | x \ | ^ {2}.}
Unii autori preferă să utilizeze numele -elliptical pentru această din urmă definiție. Aceasta intervine printre altele în teorema Lax-Milgram și teoria operatorilor eliptici, precum și în metoda elementelor finite .
X{\ displaystyle X}
Legătura între definiții
În cazul în care este o formă biliniară, prin setare avem echivalență între coercitivitatea lui și cea a lui . Într-adevăr, implică faptul că există astfel încât . Deci (folosind variabila u),
la{\ displaystyle a}f(tu)=la(tu,tu){\ displaystyle f (u) = a (u, u)}
la{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}lim‖X‖→∞f(X)=+∞{\ displaystyle \ scriptstyle \ lim _ {\ | x \ | \ to \ infty} f (x) = + \ infty}
R>0{\ displaystyle R> 0}
‖X‖⩾R⇒f(X)⩾1{\ displaystyle \ scriptstyle \ | x \ | \ geqslant R \ Rightarrow f (x) \ geqslant 1}
(R‖tu‖)2la(tu,tu)=la(R‖tu‖tu,R‖tu‖tu)=f(R‖tu‖tu)⩾1{\ displaystyle \ left ({\ frac {R} {\ | u \ |}} \ right) ^ {2} a (u, u) = a \ left ({\ frac {R} {\ | u \ | }} u, {\ frac {R} {\ | u \ |}} u \ right) = f \ left ({\ frac {R} {\ | u \ |}} u \ right) \ geqslant 1}
și
la(tu,tu)⩾(‖tu‖R)2{\ displaystyle a (u, u) \ geqslant \ left ({\ frac {\ | u \ |} {R}} \ right) ^ {2}}
.
Prin urmare, identificăm: care este strict pozitiv.
α=(1R)2{\ displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {1} {R}} \ right) ^ {2}}
Operator al unui spațiu Hilbert în sine
Se spune că un operator al unui spațiu Hilbert în sine este coercitiv if
LA{\ displaystyle A}
H{\ displaystyle H}
lim‖X‖→+∞⟨LA(X),X⟩‖X‖=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ to + \ infty} {\ frac {\ langle A (x), x \ rangle} {\ | x \ |}} = + \ infty}
unde 〈·, ·〉 denotă produsul scalar al și ║ · ║ norma asociată.
H{\ displaystyle H}
Un operator al unui spațiu Banach în dualitatea sa topologică se spune că este coercitiv if
LA{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}
V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}
lim‖X‖→+∞⟨LA(X),X⟩‖X‖=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ | x \ | \ to + \ infty} {\ frac {\ langle A (x), x \ rangle} {\ | x \ |}} = + \ infty}
unde ║ · ║ denotă norma lui și pentru și stabilim:
V{\ displaystyle V}X∈V{\ displaystyle x \ în V}
X′∈V′{\ displaystyle x ^ {\ prime} \ în V ^ {\ prime}}
⟨X′,X⟩: =X′(X){\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}
Vezi și tu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">