Zona unui poligon

În geometrie , aria unui poligon este măsura zonei (adică a zonei ) a regiunii delimitate de poligon .

Poligoane simple

Dacă un poligon simplu (adică fără nicio intersecție a vreunei perechi de laturi, în afară de vârful comun pentru două laturi succesive) are n noduri care sunt punctele

{\ displaystyle P_ {0}, \ P_ {1}, \ \ ldots, \ P_ {n} = P_ {0}}

iar dacă $P i$ are pentru coordonate $( x i , y i )$ atunci aria poligonului (considerată ca număr pozitiv dacă vârfurile sunt ordonate în direcția trigonometrică și negative în caz contrar) este dată de: ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i }),}$ expresie care poate fi interpretată ca suma ariilor triunghiurilor $OP i P i +1$ (cu aceeași convenție de semn), sau din nou: ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i + 1} + x_ {i}) (y_ {i + 1} - y_ {i}) = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i + 1} -x_ {i}) (y_ {i + 1 } + y_ {i})}$ (aceste formule sunt valabile doar pentru un poligon simplu: de exemplu o antiparalelogramă , juxtapunerea a două triunghiuri egale unite printr-un vârf și parcurse în „opt”, va da o zonă totală zero, rezultatul sumei a două zone opuse, cele două triunghiurile fiind traversate în direcții opuse).

Poligoane regulate

Pentru un poligon regulat cu $n$ laturi de lungime $c$ , aria $A$ este dată de:

{\ displaystyle A = {\ frac {nc ^ {2}} {4 \ tan (\ pi / n)}}.}

Vezi și tu

Teorema lui Pick pentru a calcula aria unui poligon cu toate vârfurile pe o grilă
Teorema Wallace-Bolyai-Gerwien

Note și referințe

(în) Calculul suprafeței și centrului unui poligon pe site-ul web al lui Paul Bourke, Universitatea din Western Australia .