Aberații în optica particulelor încărcate

De imprecizii optica particule incarcate sunt echivalentul aberațiilor în optica fotonice. Studiul aberațiilor electronice ale lentilelor este aproape la fel de vechi ca microscopul electronic . Nu există diferențe între aberațiile geometrice ale opticii fotonice sau ale particulelor încărcate . Aberația cromatică este destul de apropiată în ambele discipline, dar lungimea de undă a opticii fotonice este înlocuită de schimbarea relativă a energiei. Deoarece existența sarcinii electrice, unele aberații vor fi consecința repulsiei Coulomb și vor fi numite „aberații ale sarcinii spațiale” pentru unele dintre ele și „aberații stochastice Coulomb” pentru altele.

Optica electronică este o restricție a opticii particulelor încărcate în cazul electronilor. Cu toate acestea, ori de câte ori masa nu este implicată în descrierea unei aberații, este comună descrierea ei ca și cum ar fi un electron.

Istoric

Primele calcule ale coeficienților de aberație au fost efectuate la începutul anilor 1930 de către Scherzer care a folosit metoda traiectoriei paraxiale și de către Glaser care a introdus metoda eikonală. În anii 1930, aberațiile lentilelor circulare sunt studiate intens și mai mulți autori vin cu formule privind diferiții coeficienți ai aberațiilor. În special, Scherzer reușește să demonstreze o teoremă deosebit de interesantă pentru rezoluția microscopilor electronici: oricare ar fi proiectarea unui obiectiv, electrostatic sau magnetic, aberația sa sferică este întotdeauna pozitivă.

În anii 1940, autori, inclusiv Scherzer, calculează aberațiile cvadrupolelor și propun o serie de metode pentru a le anula aberația sferică.

La sfârșitul anilor 1940, autorii au început să abordeze problema aberațiilor de ordinul doi în dispozitivele curbate, cum ar fi sectorul magnetic sau sectorul electrostatic : pentru sectoarele magnetice, Hintenberger în 1948, apoi Kerwin, Tasman, Boerboom și în cele din urmă Enge în 1967. Pentru sectoarele electrostatice, Ewald și Liebl în 1957, Wollnick în 1965.

Optică gaussiană, avion gaussiană

Definiție canonică

Într-un număr foarte mare de sisteme optice electronice sau ionice, este posibil să se favorizeze o traiectorie mediană , parametrizată în z, distanță de-a lungul traiectoriei și o tensiune nominală de accelerație. se va numi axa principală . Unele părți ale acestei axe sunt drepte, dar alte părți pot fi curbate, de exemplu, în sectoarele electrostatice sau magnetice utilizate în spectrometrele de masă . Putem considera apoi orice sistem optic ca o funcție de transformare a traiectoriilor dintre un plan de intrare situat la , unde indexul „i” înseamnă „intrare” și un plan de ieșire situat la , unde indicele „o” înseamnă „ieșire”. Acești indici sunt puțin regretabili, deoarece conduc la confuzie cu „imagine” și „obiect”, dar așa sunt definiți în literatura de specialitate. $z_i$ ${\ displaystyle z_ {o}}$

Într-un plan dat, perpendicular pe axa principală, identificat prin axele OX și OY, orice traiectorie electronică sau ionică poate fi caracterizată printr-un vector (x, y, a, b, m, e) unde

(x, y) sunt coordonatele particulei
(a, b) sunt unghiurile de deschidere respective în raport cu axa principală OZ în planurile ZOX și ZOY
e = dE / E este diferența relativă dintre tensiunea de accelerație a particulei și tensiunea nominală de accelerație E.
m = dM / M este diferența relativă dintre masa particulei și masa nominală M.

Fiecare componentă a vectorului de ieșire poate fi apoi exprimată ca o funcție a componentelor vectorului de intrare și poate fi aproximată printr-o serie Taylor .

${\ displaystyle x_ {O} = (x / x) * x_ {i} + (x / y) * y_ {i} + (x / a) * a_ {i} + (x / b) * b_ {i } + (x / m) * m + (x / e) * e + (x / xx) * x_ {i} ^ {2} ... + (x / aa) * a_ {i} ^ {2} + (x / ae) * a_ {i} * e + .... + (x / aaa) * a_ {i} ^ {3} ...}$

${\ displaystyle y_ {O} = (y / x) * x_ {i} + (y / y) * y_ {i} + (y / a) * a_ {i} + (y / b) * b_ {i } + (y / m) * m + (y / e) * e + (y / xx) * x_ {i} ^ {2} + (y / aa) * a_ {i} ^ {2} + (y / ae) * a_ {i} * e + .... + (y / aaa) * a_ {i} ^ {3} ...}$

${\ displaystyle a_ {O} = (a / x) * x_ {i} + (a / y) * y_ {i} + (a / a) * a_ {i} + (a / b) * b_ {i } + (a / m) * m + (a / e) * e + (a / xx) * x_ {i} 2 ... + (a / aa) * a_ {i} ^ {2} + (a / ae) * a_ {i} * e + .... + (a / aaa) * a_ {i} ^ {3} ...}$

${\ displaystyle b_ {O} = (b / x) * x_ {i} + (b / y) * y_ {i} + (b / a) * a_ {i} + (b / b) * b_ {i } + (b / m) * m + (b / e) * e + (b / xx) * x_ {i} ^ {2} ... + (b / aa) * a_ {i} ^ {2} + (b / ae) * a_ {i} * e + .... + (b / aaa) * a_ {i} ^ {3} ...}$

Trebuie să fie clar că (x / ae) sau (a / x) sau y (bbb) denotă coeficienți. Setul complet al acestor coeficienți este uneori numit Transfer Matrix . Ar trebui înțeles că, în măsura în care cunoaștem coeficienții fiecărei componente a sistemului, este posibil să se calculeze cu ușurință coeficienții întregului sistem.

Putem da fiecărui coeficient un sens fizic. De exemplu (x / x) și (y / y) sunt măriri în timp ce (a / x) și (b / y) sunt inversele distanței focale. De asemenea, se poate sublinia că (x / m) este un coeficient de dispersie a masei și (x / e) un coeficient de dispersie a energiei.

Într-un anumit număr de cazuri particulare, se poate arăta că anumiți coeficienți sunt neapărat zero din motive de simetrie. De exemplu, o lentilă electrostatică cu simetrie de revoluție va avea coeficienții de ordinul doi (a / xx), (a / yy), (a / xy) etc. egal cu zero.

Termenii de ordinul doi și al treilea (și, desigur, dincolo) sunt considerați ca efecte parazite, nedorite în majoritatea sistemelor optice. Acestea sunt numite „aberații”. Unele dispozitive, de exemplu hexapole , care produc un anumit tip de aberații - în cazul hexapolilor, acestea sunt aberații de ordinul doi, sunt incluse în sistemele optice pentru a anula aberațiile produse de alte dispozitive esențiale în instrumentarea luată în considerare? De exemplu, sectoarele magnetice care sunt utilizate pentru dispersia lor de masă produc, de asemenea, termeni paraziți (x / aa), (x / ae) ...

În sistemele cu simetrie de revoluție

Aberații geometrice de ordinul III

Într-un sistem cu simetrie de revoluție, adică un sistem alcătuit din lentile electrostatice și lentile magnetice precum microscopii electronici , este firesc să lucrăm în coordonate cilindrice prin exprimarea poziției particulei la folosind vectorul său de raza r și azimut . Vom lucra apoi cu variabilele complexe u și v și w definite de $\ phi$

${\ displaystyle \ textstyle u = x_ {O} + iy_ {O} = r_ {O} * e ^ {i \ phi _ {O}}}$

${\ displaystyle {\ bar {u}} \ = x_ {O} -iy_ {O} = r_ {O} * e ^ {- i \ phi _ {O}}}$

${\ displaystyle \ textstyle w = x_ {i} + iy_ {i} = r_ {i} * e ^ {i \ phi _ {i}}}$

Simetria revoluției duce la eliminarea termenilor de ordine uniformă, începând cu ordinea a doua. De asemenea, impune, pentru toți termenii de ordinul trei de tip , să păstreze numai pe cei a căror fază este : ${\ displaystyle \ textstyle uuv, \ v ^ {2} {\ bar {v}}, \ {\ bar {v}} ^ {3}}$ $\ phi$

${\ displaystyle w = \ left (\ mathbf {A} + i \ mathbf {A} '\ right) \ v ^ {2} {\ bar {v}} \ + \ left (\ mathbf {B} + i \ mathbf {B} '\ right) u ^ {2} {\ bar {v}} \ + \ left (\ mathbf {C} + i \ mathbf {C}' \ right) \ u {\ bar {u}} \ v + \ left (\ mathbf {D} + i \ mathbf {D} '\ right) {\ bar {u}} \ v ^ {2} + \ left (\ mathbf {E} + i \ mathbf {E } '\ right) uv {\ bar {v}} \ + \ left (\ mathbf {F} + i \ mathbf {F}' \ right) u ^ {2} {\ bar {u}} \}$

În plus, prin considerații de simetrie și în virtutea teoremei lui Malus-Dupin care impune:

${\ displaystyle Im ({\ frac {\ delta w} {\ delta v}}) = 0}$

reușim să simplificăm și să eliminăm un anumit număr de termeni:

${\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {C}' = 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} = 2 \ mathbf {D}}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} '= -2 \ mathbf {D}'}$

Ceea ce duce la o relație valabilă atât pentru lentilele magnetice, cât și pentru lentilele electrostatice.

${\ displaystyle w = \ mathbf {A} \ v ^ {2} {\ bar {v}} \ + \ left (\ mathbf {B} + i \ mathbf {B} '\ right) u ^ {2} { \ bar {v}} \ + \ mathbf {C} \ u {\ bar {u}} \ v + \ left (\ mathbf {D} + i \ mathbf {D} '\ right) {\ bar {u} } \ v ^ {2} +2 \ left (\ mathbf {D} -i \ mathbf {D} '\ right) uv {\ bar {v}} \ + \ left (\ mathbf {F} + i \ mathbf {F} '\ dreapta) u ^ {2} {\ bar {u}} \}$

Dar, în cazul lentilelor electrostatice, putem profita de faptul că nicio forță nu poate determina un electron să părăsească un plan meridian.

${\ displaystyle \ mathbf {B} '= \ mathbf {D}' = \ mathbf {F} '= 0}$

A este cunoscut sub numele de coeficient de aberație sferică
D este cunoscut sub numele de coeficient de coma
D este cunoscut sub numele de coeficient de comă anizotropă
B este cunoscut sub numele de coeficient de astigmatism
B ' este cunoscut sub numele de coeficientul astigmatismului anizotrop
C este cunoscut sub numele de coeficient de curbură a câmpului * F este cunoscut sub numele de coeficient de distorsiune
F ' este cunoscut sub numele de coeficient de distorsiune anizotropă

Toate aceste aberații geometrice sunt discutate mai jos.

Discutarea detaliată a diferitelor aberații geometrice

Putem defini în mod canonic 5 tipuri de aberații geometrice: aberație sferică, coma , curbura câmpului, astigmatism și distorsiune .

Aberație sferică

Aberația sferică este o aberație de ordinul trei care reflectă faptul că o lentilă, fie ea magnetică sau electrostatică, este întotdeauna mai convergentă pentru traiectorii periferice decât pentru traiectorii centrale. Coeficientul de aberație sferică este definit de relația: $C_ {s}$

{\ displaystyle r_ {s} = C_ {s} \ theta ^ {3} M}

unde este distanța față de axă, în planul de imagine Gauss al traiectoriei asociate cu unghiul de deschidere și M fiind mărirea sistemului optic considerat. $r_ {s}$ $\ theta$

Secțiunea fasciculului nu este minimă pentru planul Gaussian, ci pentru un plan vecin. În acest plan, secțiunea fasciculului este numită discul cu cea mai mică confuzie, care se poate dovedi a fi egală cu: Pentru un fascicul cu unghi de deschidere , fasciculul nu este focalizat într-un punct, ci pe un disc din imagine avion, numit disc cu cea mai mică confuzie cu diametrul minim : ${\ displaystyle d_ {s, min}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$ ${\ displaystyle d_ {s, min}}$

{\ displaystyle d_ {s, min} = {\ frac {1} {2}} C_ {s} \ alpha _ {0} ^ {3}}

${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$ , fiind unghiul de deschidere a fasciculului.

Scherzer a demonstrat printr-o teoremă care îi poartă numele că aberația sferică a fost întotdeauna pozitivă într-un sistem cu simetrie de revoluție. Cu toate acestea, la sfârșitul anilor șaptezeci, s-a imaginat să ocolească teorema Scherzer prin sisteme care nu sunt simetric de revoluție și care necesită ca fasciculul să treacă în afara axei. Aceste sisteme constau dintr-un număr de etape multipolare. Ajustarea lor necesită algoritmi sofisticati, abia de la începutul anilor 2000 au putut fi integrați în microscoape electronice comerciale.

Astigmatism

Astigmatismul are efectul de a nu convergente raze din același punct următoarele direcții inițiale. Luând în considerare o distanță focală de -a lungul planului meridian și cealaltă de -a lungul planului sagital, observăm o diferență de distanță focală . Din această diferență rezultă un cerc cu cea mai mică confuzie de diametru dat de: $F_m$ $F_ {s}$ ${\ displaystyle \ Delta f_ {a} = F_ {m} -F_ {a}}$ $d_ {a}$

{\ displaystyle d_ {a} = \ Delta f_ {a} \ alpha _ {0}}

În cazul unei lentile, originea acestei aberații provine din variațiile de câmp datorate neomogenităților lentilei sau unei posibile contaminări pe suprafața diafragmelor și a probei. Astigmatismul este corectat de o pereche de stigmatoare, compensate cu 45 °.

Aberatii cromatice

În practică, fasciculul de electroni nu este complet monocromatic , adică lungimea de undă (sau energia) variază ușor de la un electron la altul. Focalizarea lentilelor magnetice depinde puternic de energia electronilor, rezultatul este o succesiune de focare care sunt incluse între focalizarea pentru cei mai lenti electroni și cea pentru cel mai rapid . Această diferență și constanta de aberație cromatică caracterizează cercul de cea mai mică confuzie al cărui diametru este dat de: ${\ displaystyle F_ {l}}$ ${\ displaystyle F_ {r}}$ ${\ displaystyle \ Delta f_ {c} = F_ {l} -F_ {r}}$ $DC}$

{\ displaystyle d_ {c} = {\ frac {1} {2}} \ Delta f_ {c} \ alpha _ {0}}

Se spune că această aberație este de ordinul unu, deoarece este proporțională cu deschiderea unghiulară . ${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$

Calculul aberațiilor geometrice și cromatice

Aberații ale încărcării spațiale

Dacă fasciculul de particule încărcate este foarte intens, fenomenele de repulsie Coulomb interne ale fasciculului între sarcini electrice de același semn nu sunt neglijabile și conduc la așa-numitele aberații ale sarcinii spațiale care pot fi corectate, la prima abordare prin reorientarea obiectivului obiectivului în măsura în care forțele respingătoare au un aspect continuu și depind doar de poziția unui punct considerat.

Efectele asupra traiectoriilor rezultate din repulsia stochastică Coulomb, numită anterior efectul Boersch , sunt ele însele incorigibile.

Note și referințe

(en) PW Hawkes, E. Kasper, Principii de optică electronică , Academic Press, 1988, p. 299-302
O. Scherzer, Z. Physik 80, 193-202 (1933)
W. Glaser, Z. Physik, 81, p. 647-686
O. Scherzer, Z. Physik, 101, 593-603
Pierre Grivet , Electron optics , Volumul 1, ediția engleză din 1972, p. 349 și 367-368
Hintenberger, Z. Naturforsch., "A, 125 și 669 (1948)
Harald A.Enge, Magneti deflectori , în Focalizarea particulelor încărcate , ed. de Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 203-264
H. Ewald și H. Liebl, Z. Naturforsch. 12a. 28 (1957)
Hermann Wollnik, Prisme electrostatice , în Focalizarea particulelor încărcate , ed. de Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 163-202
De exemplu, articolele lui Wollnick și Enge în Focalizarea particulelor încărcate , ed. de Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 163-202 și p. 203-264
Grivet, p. 156-158
Grivet, p. 159-162
Reimer 1993 , p. 37-38
plan definit perpendicular pe planul meridian
Reimer 1993 , p. 40

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) PW Hawkes și E. Kasper, Principiile opticii electronice , Academic Press, 1988, p. 299. (Lucrare de referință pentru optica electronică din 1988, dar puțin dificil de citit. Optica sistemelor curbate, la baza opticii ionice, este doar zgâriată suprafața.)
(ro) Pierre Grivet, Electron optics , Tome 1, prima ediție în limba engleză, presa Pergamon 1965, ediția a doua, 1972. (lucrare clasică de la sfârșitul anilor 1950)
Maurice Cotte, Cercetări privind optica electronică , Ann. Fizic. Paris, 10, 333, 73 p. (prima monografie în franceză)
(ro) L. Reimer , Microscopie electronică de transmisie ,1993[ detaliul ediției ]

Sisteme de axe curbate

(ro) Hermann Wollnik, Optica particulelor încărcate , presa academică, 1987 (Țintită spre acceleratoare mari)
Hermann Wollnik, Prisme electrostatice , în Focalizarea particulelor încărcate , ed. de Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 163-202 (pentru sectoarele electrostatice)
(ro) Harald A.Enge, Magneti deflectori , în Focalizarea particulelor încărcate , ed. de Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 203-264 (Pentru sectoare magnetice)

Articole similare