Ecuația lui Whitham
În fizica matematică , ecuația Whitham este o ecuație generală care descrie o undă gravitațională de suprafață neliniară, dispersivă . A fost înființată de Gerald Whitham în 1967.
Formulare
Este scris astfel:
∂s∂t+αs∂s∂X+∫-∞+∞K(X-ξ)∂s(ξ,t)∂ξdξ=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + \ alpha s {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} K (x- \ xi) \, {\ frac {\ partial s (\ xi, t)} {\ partial \ xi}} \, {\ text {d}} \ xi = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + \ alpha s {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} K (x- \ xi) \, {\ frac {\ partial s (\ xi, t)} {\ partial \ xi}} \, {\ text {d}} \ xi = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57c1713b19d46254004e2519c71dd1645b6b952)
Este o ecuație integro-diferențială a variabilei s (x, t) care dă altitudinea suprafeței în orice cadru de referință. Kernel K ( x - ξ ) este specific problema tratată.
Undele gravitaționale pe o suprafață
vs.(k)=gktanh(kh),α=32gh{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {{\ frac {g} {k}} \, \ tanh (kh)}} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2} } {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}![{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {{\ frac {g} {k}} \, \ tanh (kh)}} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2} } {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3266e86b9484bd642cfb28e15a6f68716f6f0a5f)
unde c este
viteza de fază , g gravitația și h adâncimea mediului în repaus.
K ( s ) este
transformata Fourier
K(s)=12π∫-∞+∞vs.(k)eeuksdk{\ displaystyle K (s) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c \, (k) \, {\ text {e}} ^ {iks} \, {\ text {d}} k}
vs.(k)=gh(1-16k2h2),K(s)=gh(δ(s)+16h2δ′′(s)),α=32gh{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {gh}} \ left (1 - {\ frac {1} {6}} k ^ {2} h ^ {2} \ right) \ ,, \ qquad K (s) = {\ sqrt {gh}} \ left (\ delta (s) + {\ frac {1} {6}} h ^ {2} \, \ delta ^ {\ prime \ prime} (s) \ right) \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}![{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {gh}} \ left (1 - {\ frac {1} {6}} k ^ {2} h ^ {2} \ right) \ ,, \ qquad K (s) = {\ sqrt {gh}} \ left (\ delta (s) + {\ frac {1} {6}} h ^ {2} \, \ delta ^ {\ prime \ prime} (s) \ right) \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38770fc640f644bacabf43738c4b3f7ed8aea037)
unde δ ( s ) este
funcția Dirac .
vs.=ν2ν2+k2,K(s)=12νe-νs,α=32{\ displaystyle c = {\ frac {\ nu ^ {2}} {\ nu ^ {2} + k ^ {2}}} \ ,, \ qquad K (s) = {\ frac {1} {2} } \ nu {\ text {e}} ^ {- \ nu s} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}}}![{\ displaystyle c = {\ frac {\ nu ^ {2}} {\ nu ^ {2} + k ^ {2}}} \ ,, \ qquad K (s) = {\ frac {1} {2} } \ nu {\ text {e}} ^ {- \ nu s} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1c66d1d0fd5d594232d1546d97b48a28da197e)
Relația integro-diferențială rezultată poate fi redusă la ecuația
diferențială parțială numită ecuația Fornberg - Whitham.
(∂2∂X2-ν2)(∂s∂t+32s∂s∂X)+∂s∂X=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} - \ nu ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + {\ frac {3} {2}} \, s \, {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} \ right) + {\ frac {\ partial s} {\ partial x }} = 0}![{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} - \ nu ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + {\ frac {3} {2}} \, s \, {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} \ right) + {\ frac {\ partial s} {\ partial x }} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806f09bf9c396fc6c45f4d3179815f45d352b65f)
Unele soluții prezintă discontinuități ale primei derivate ( peakon ) și unde de șoc (
creștere ), aceasta din urmă fiind absentă din soluțiile
ecuației Korteweg și Vries .
Referințe
-
(în) L. Debnath, Ecuații diferențiale parțiale neliniare pentru oamenii de știință și ingineri , Springer ,2005, 737 p. ( ISBN 978-0-8176-4323-2 , citit online )
-
(ro) PI Naumkin și eu .A. Shishmarev, ecuații neliniare nelocale în teoria valurilor , American Mathematical Society ,1994, 289 p. ( ISBN 978-0-8218-4573-8 )
-
(ro) Gerald B. Whitham , „ Variational Methods and Applications to Water Waves ” , Proceedings of the Royal Society A , vol. 299, nr . 14561967, p. 6-25
-
(ro) B. Fornberg și GB Whitham , „ Un studiu numeric și teoretic al anumitor fenomene de undă neliniară ” , Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. 289, nr . 13611978, p. 373-404
-
(în) Gerald B. Whitham , Linear and Nonlinear Waves , Wiley ,1974( ISBN 978-0-471-35942-5 , citit online )
Vezi și tu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">