Ecuația Schwinger-Dyson

Ecuația Schwinger-Dyson , după Julian Schwinger și Freeman Dyson , este o ecuație a teoriei câmpului cuantic . Având o funcție F mărginită pe configurațiile câmpului, atunci pentru orice vector de stare (care este o soluție a teoriei câmpului cuantic), există: ${\ displaystyle | \ psi>}$

{\ displaystyle <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {{\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} F [\ phi] \} | \ psi> = - i <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {F [\ phi] {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} S [\ phi] \} | \ psi>}

cu S funcția de acțiune și operația de ordonare a timpului. ${\ mathcal {T}}$

În același mod, în formularea stării de densitate , pentru orice stare (validă) ρ, există:

{\ displaystyle \ rho ({\ mathcal {T}} \ {{\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} F [\ phi] \}) = - i \ rho ({\ mathcal {T}} \ {F [\ phi] {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} S [\ phi] \})}

Aceste ecuații infinite pot fi utilizate pentru rezolvarea funcțiilor de corelație, fără perturbări.

De asemenea, se poate reduce acțiunea S separându-l: S [φ] = 1/2 D -1 ij φ i φ j + S int [φ] cu pentru primul termen partea pătratică și D -1 un tensor covariant simetric și reversibil (antisimetric pentru fermioni ) de rangul 2 în notația deWitt . Ecuațiile pot fi rescrise după cum urmează:

{\ displaystyle <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {F \ phi ^ {j} \} | \ psi> = <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {iF _ {, i} D ^ {ij} -FS_ {int, i} D ^ {ij} \} | \ psi>}

Dacă F este o funcție a lui φ, atunci pentru un operator K , F [ K ] este definit ca un operator care înlocuiește K cu φ. De exemplu, dacă

{\ displaystyle F [\ phi] = {\ frac {\ partial ^ {k_ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {k_ {1}}}} \ phi (x_ {1}) \ cdots { \ frac {\ partial ^ {k_ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {k_ {n}}}} \ phi (x_ {n})}

și că G este o funcție a lui J , atunci:

{\ displaystyle F [-i {\ frac {\ delta} {\ delta J}}] G [J] = (- i) ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {k_ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {k_ {1}}}} {\ frac {\ delta} {\ delta J (x_ {1})}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ {k_ {n}}} { \ partial x_ {n} ^ {k_ {n}}}} {\ frac {\ delta} {\ delta J (x_ {n})}} G [J]}

Dacă există o funcție analitică Z (numită funcție generator ) a lui J (numită câmp sursă) care îndeplinește ecuația:

{\ displaystyle {\ frac {\ delta ^ {n} Z} {\ delta J (x_ {1}) \ cdots \ delta J (x_ {n})}} [0] = i ^ {n} Z [0 ] <\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n})>}

atunci ecuația Schwinger-Dyson pentru generatorul Z este:

{\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta \ phi (x)}} [- i {\ frac {\ delta} {\ delta J}}] Z [J] + J (x) Z [J ] = 0}

Prin dezvoltarea acestei ecuații a seriei Taylor pentru J aproape de 0, se obține întregul set de ecuații Schwinger-Dyson.